lu分解是什么？
Ax=B,改写成Ly=B,Ux=y的方程组。就相当于将A=LU分解成了两个矩阵。称为矩阵A的三角分解,或LU分解。如果L为单位下三角阵,则叫Doolittle分解,若U为单位上三角阵,则叫Crout分解。只要A的各顺序主子式不为零,则A可唯一分解成一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积。
•设Ax=b,A=LU,则Ax=LUx=b
于是令Ux=y,则Ly=b
这样原来方程能化为两个简单方程组
在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积)。LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
扩展资料:
相关算法:
LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵,其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。
这正是所谓的杜尔里特算法:从下至上地对矩阵A做初等行变换,将对角线左下方的元素变成零,然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵,这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵,它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右。
参考资料:
找图网-lu分解
矩阵的LU分解
看了麻省理工的线性代数的一部分课程,主要是补补课,大二线代忘得差不多,主要目的是学习SVD,学习SVD之前补补前面的课,第一课就是LU分解了。
L是指下三角矩阵,U是指上三角矩阵,也就是说一个矩阵可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积,下三角阵对角元是1,上三角是主元,貌似课上是这么说的。对于任意矩阵A可以写成:
还可以写成A=LDU,其中D是对角阵,例如:
这是LU分解而LDU则是
L是一堆初等变换乘积的逆,为什么是逆呢?
我们可以假设对于一个3*3的矩阵A化为上三角矩阵U需要将第二行第一个元素化为0,这一初等变换记作E
21
将第三行第一个,第二个元素化为0记作E
31
,E
32
那么原式可以写为
为了简单我们令E
31
=E,那么另外两个的乘积可以设为:
注意到最终结果存在一个10,我们在消去第二行第一个元素时是乘以-2倍的,对于第三行是乘-5的,这两个是消元系数,但是10并不是,我们不想出现10,那么看看他们的逆呢?
很明显没有10了而这就是我们要的L只体现消元系数,而没有其他的数字。
在机器学习中目前没发现作用,度娘说LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
是n
3
,n*n的矩阵,消去第一列是n
2
,第二列是(n+1)
2
...求和约为n
3
。
如何使用matlab命令进行LU分解
1、双击matlab软件图标,打开matlab软件,可以看到matlab软件的界面。
2、使用函数pascal(5)创建5x5的矩阵A。
3、使用函数chol(A)对矩阵A进行Cholesky分解。
4、使用函数
表达式
[B,C]=lu(A)对矩阵进行LU分解,也成为
高斯消去法
。其中B是下三角矩阵,C是上三角矩阵。
5、使用函数magic(4)创建一个4x4的矩阵A。使用函数表达式[Q,R]=qr(A),对矩阵A进行
QR分解
,其中Q是
正交矩阵
。
